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Bienvenidos a mi blog de matemáticas de básica, a qui podrán ver problemas, ecuaciones resueltas, la historia de los números, números egipcios, chino y muchas cosas más.Bueno no les quito más tiempo, a visitar mi blog

sábado, 23 de enero de 2010

Multiplicación con suma abreviada.

LÁMINAS

Tablas de multiplicar

ZoomTablas de multiplicar para imprimir

En este oportunidad, revisaremos otra operación matemática: la multiplicación.

La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces.

Por ejemplo, según esto, 2 Lámina 5 significa 5 veces el 2.

Entonces:

Lámina

Podemos graficarlo a través de conjuntos.

Utilizaremos estrellas.

Lámina

También se puede relacionar la multiplicación con los pares ordenados, que se obtienen del producto cartesiano de 2 conjuntos.

Los pares se forman con un elemento de cada conjunto, en el orden que se dan.

Analizaremos el ejemplo anterior en base al producto cartesiano de:

Lámina

Elementos

En la multiplicación encontramos los siguientes elementos:

- Los números que se multiplican se llaman factores.
- El resultado se conoce como producto.

Lámina

Distinta especie

Los factores siempre tienen distinta especie.

Observa el siguiente ejemplo:

1 caja tiene 12 lápices de colores.

Las especies de nuestro ejemplo son caja y lápices. Analicemos el problema:

5 cajas tienen _______ lápices

Nos hablaban de los lápices de 1 caja y lo desconocido es lápices de 5 cajas. Para encontrar la solución, aplicamos multiplicación, porque 5 cajas tienen más lápices que 1 caja.

El resultado será:

12 Lámina 5 = 60

La tabla pitagórica

La mejor forma para obtener el producto es la multiplicación. Cuando hablamos de esta operación, existe una tabla muy útil y fácil de construir: la Tabla Pitagórica .

En ella, hemos colocado los 13 primeros números cardinales en forma horizontal y vertical. Llenamos cada columna con una secuencia ascendente del número que la encabeza, empezando por el 0 y aumentando según el número.

Por ejemplo en la columna 5, aumentamos de 5 en 5.

A continuación, observa que cada columna y fila de un número coinciden en sus productos.

Lámina

¿Sabes qué hemos hecho? Las famosas tablas de multiplicar.

Hemos anotado los 11 primeros múltiplos de cada número.

Los múltiplos resultan de multiplicar cada número por ¡todos los números! Son infinitos.

Con nuestra tabla podremos resolver nuestro ejemplo.

Lámina

Empezamos por las unidades:

5 veces 2 = 10
10 U. = 1 D

Colocamos 0 en las U. y reservamos 1 D.

Multiplicamos las D: 5 Lámina 1 = 5, y con la reserva que teníamos: 5 + 1 = 6 D


Operaciones Básicas.

Adición y Sustracción: Dos operaciones básicas


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Suma

El hombre necesita en su vida diaria agregar, quitar, aumentar, repartir...en una palabra: resolver operaciones matemáticas.

Te invitamos a ponerte los anteojos del razonamiento y los guantes de la lógica; a tomar el lápiz como bisturí para convertirte en cirujano matemático.

¡Vas a sacar cálculos!

La palabra cálculo tiene su origen en el latín "calculus" que significa piedra, elemento de la naturaleza que antiguamente se usó para contar.

De esta sencilla palabra se derivan muchos términos como calculista, calculable y también, nuestra querida amiga, la calculadora. Entremos en materia y revisemos cada operación dentro del conjunto de los números cardinales.

¿Adición o suma?

Adición: Términos como juntar, agregar, buscar totales, son claves para aplicar esta importante operación matemática. En ella distinguimos: los sumandos, que son numerales separados por el signo más (+), y la suma, que es el resultado de la operación:

Lámina


Un dato curioso de la adición, es la suma que se obtiene de números pares e impares.

Lámina

Lámina

¿Y cuándo la suma es impar? Observa:

Lámina

Cuando aplicas la adición en forma vertical, debes hacer coincidir las columnas de posición de todos los sumandos. Recuerda que en cada columna las cifras tienen diferente valor:

Lámina

Lámina

Conviene hacer estimaciones de la suma, es decir, obtener aproximaciones por medio del cálculo mental. Si los sumandos son 148 + 76, podríamos decir: 148 es casi 150 y 76 está muy cerca de 80, entonces la suma estaría cerca de 230.

¡Comprobemos!

148 + 76 = 224

Juguemos a detectives e investiguemos los sumandos: ¿Qué pasa si cambiamos el orden de ellos?

142 + 74 = 216

74 + 142 = 216

La suma es la misma. ¡Hemos aplicado la propiedad conmutativa!

Ahora trata de sumar de una sola vez estos numerales:

4 + 8 + 5 + 9 + 3 =______

Estamos seguros de que no lo lograste y es más..., la calculadora tampoco puede hacerlo.

Observa qué hace este práctico instrumento para obtener la suma: va sacando la cuenta de a dos numerales y coloca la suma de ellos en el visor, justo cuando presionas el signo + para digitar el tercer numeral. ¡Pruébalo!

¿Sabes cómo llamamos a esto?

Propiedad asociativa.

Veamos lo que pasa si uno de los sumandos es 0.

25 + 0 = 25

Quedó el otro sumando como suma. Claro, porque el 0 es el elemento neutro de esta operación. Y ésta es otra propiedad.

¿Habrá más propiedades? Sí, una más: operación cerrada. ¿Por qué? Porque todas, absolutamente todas las adiciones entre cardinales, tienen solución.

Sustracción o resta

¡Cuántas veces decimos: me queda, me falta, la diferencia...! Ahí nos referimos a la sustracción, una operación que tiene como elementos:

Lámina

La sustracción no es cerrada, porque no siempre tiene solución en los números cardinales:

3 - 12 = ?

Sólo se puede resolver cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.

Tenemos la siguiente sustracción: 12 - 3 = 9 Pero, ¿por qué es 9? Porque 9 + 3 = 12

Entonces, la sustracción es la operación inversa a la adición. Por eso, para comprobar si la diferencia está correcta, sumamos la resta, más el sustraendo y debemos obtener el minuendo.

Lámina

jueves, 21 de enero de 2010

Geo origen.

Origen y desarrollo de la geometría


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Retrato de Euclides

Euclides

El ser humano necesitó contar, y creó losnúmeros; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.

Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.

Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras,cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

El río Nilo

La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".

Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.

Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.

El aporte griego

Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.

Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos.

Plano,puntos y rectas.

Plano, puntos y rectas: Socios inseparables


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Mesa de tres patas

¿Sabes cuál es la mesa que nunca queda coja? La que tiene tres patas, porque con "tres puntos del espacio se puede determinar un plano".

Existen relaciones entre el plano, los puntos y las rectas que pueden llegar a producir interesantes resultados, cuyo análisis nos permite explicarnos varios aspectos de la realidad.

Plano con puntos y rectas

Estudiemos tres casos:

a) ¿Sabes cuál es la mesa que nunca queda coja? La que tiene tres patas, porque con "tres puntos del espacio se puede determinar un plano".

Lámina

b) ¿Qué pasa con el plano y el espacio? El plano queda como frontera de dos semiespacios.

Lámina

c) ¿Qué determina una recta en un plano? Forma dos subconjuntos llamadossemiplanos.

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Dos rectas

En este caso, comparemos lo que sucede en el espacio y en el plano. Analicemos distintas situaciones.

a) Si tienen un punto común. Quiere decir que su intersección, tanto en el plano como en el espacio, es un punto. A estas rectas se las llama "secantes":

L1 Lámina L2 = {A}

Lámina

Hay un caso especial de estas rectas cuando, al intersectarse, forman ángulos rectos. Aquí nos encontramos con rectas secantes perpendiculares.

Observa este ejemplo:

Lámina

El símbolo de perpendicular es Lámina. En nuestro ejemplo:

L1 Lámina L2 = {P} y L1 LáminaL2

Esto lo puedes apreciar en lo que sucede con las líneas verticales y horizontales de una hoja cuadriculada.

b) Si dos rectas no cuentan con puntos comunes y tienen la misma dirección, ya sea en el espacio o en el plano, estamos hablando de rectas paralelas. Símbolo II

Por ejemplo:

Lámina

En este dibujo: L1 II L2.

En la vida cotidiana, puedes apreciar este principio geométrico en el tendido de los cables que llevan electricidad, las líneas del cuaderno de composición, etcétera.

c) Rectas sin puntos comunes. También se da el caso de rectas que se cruzan, pero solamente en el espacio. No se pueden dibujar, pero sí imaginar. Pensemos en una recta que va de norte a sur cerca del techo y otra que está cerca del suelo, pero con sentido este a oeste; esas rectas se cruzan.

Estas tres relaciones que se dan entre dos rectas ocurren también entre dos planos, dos rayos, dos semirrectas o dos trazos, y entre la mezcla de estos elementos; por ejemplo, un plano y un rayo, un rayo y una semirrecta, etcétera. Sólo cambian algunos detalles.

Si dos planos son secantes, es decir que tienen intersección, esa intersección no es un punto, es una recta. Observa con atención:

Lámina

Lámina

Todas estas ideas geométricas y sus relaciones son la base que ha utilizado el hombre para desarrollar la ciencia y la tecnología.

Él ha construido sus viviendas, monumentos y obras de arte, teniendo presente estos conceptos.

Sólo podemos decir: ¡qué maravillosa es la capacidad de la inteligencia humana!

¡Qué distinto sería nuestro espacio terrestre si todos lo usáramos para construir un mundo mejor, teniendo como intersección de nuestros actos los planos del respeto, la solidaridad y la paz!


Prismas y pirámides

Clasifiquemos poliedros: Prismas y pirámides


LÁMINAS

Paralelepípedo

ZoomLa red de un cuerpo geométrico es el conjunto de líneas que nos permiten armar dicho cuerpo. Aquí arma un paralelepípedo.

Prisma de base hexagonal

ZoomPrisma de base hexagonal

Prisma de base triangular

ZoomPrisma de base triangular

Pirámide de base triangular

ZoomPirámide de base triangular

Pirámide de base cuadrangular

ZoomPirámide de base cuadrangular

Los cuerpos poliedros se clasifican, de acuerdo a sus caras basales, en prismas ypirámides.

¿Cómo son los prismas?

Los prismas tienen 2 caras basalescongruentes y paralelas, por lo tanto sus caras laterales corresponden a paralelógramos.

Hay 2 tipos de prismas:

- Rectos , si sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.
Observa:

Lámina
- Oblicuos , si sus aristas laterales no cumplen esa condición.

Observa:
Lámina

En un prisma, podemos determinar como alturaal segmento perpendicular a las bases.

En los prismas rectos, las aristas laterales y la altura, tienen la misma medida.

Las caras basales de un prisma corresponden a un polígono ; dicho polígono sirve para nombrarlo. Por ejemplo, si decimos: prisma de base triangular, quiere decir que sus bases son triángulos; en cambio, si nos referimos a prisma de base pentagonal, es que sus bases son pentágonos.

Lámina

Nombraremos 2 prismas especiales: el cubo y el paralelepípedo.

El cubo: Es uno de los cinco poliedros regulares, es decir, tiene todas sus caras congruentes. Este prisma está formado por 6 cuadrados. Se le denomina hexaedro regular .

Lámina

El paralelepípedo: Es un prisma que tiene en sus caras basales solo paralelógramos . Observa:

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Redes

La red de un cuerpo geométrico es el conjunto de líneas que nos permiten armar dicho cuerpo. Observa:

Lámina

Las pirámides

Las pirámides tienen una sola cara basal, que puede ser cualquier polígono; ysus caras laterales son siempre triángulos, que tienen un vértice común llamado cúspide .

Lámina

El nombre de la pirámide identifica al polígono base. Por ejemplo, este dibujo muestra una pirámide de base rectangular .

Podemos encontrar pirámides regulares e irregulares.

- Regulares: Las pirámides regulares son las que tienen un polígono regular como base y sus caras laterales son triángulos isósceles . Por ejemplo:

Lámina

- Irregulares: Las pirámides irregulares pueden tener como base polígonos irregulares, o bien, que alguna de sus aristas laterales tenga distinta medida. Observa:

Lámina

Altura: En una pirámide, la altura corresponde al segmento perpendicular que une la base con la cúspide.

Hay otro segmento importante en una pirámide regular; se conoce como apotema lateral Lámina y es la altura de cualquier cara lateral.

Lámina

El tetraedro: Es otro de los poliedros regulares. Es una pirámide formada por 4triángulos equiláteros . Así:

Lámina